Есть ли какая-то связь слова частушка со словами часто, частить?
Ответ
В словах: частушка, часто, частить — один корень -част-.
Частушка получила своё название за то, что пелась ритмично, быстро, исполнитель произносил слова очень часто.
Поэтому это не только однокоренные слова, но и слова, связанные по смыслу.