Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике из демонстрационного варианта. Основные проверяемые требования к математической подготовке: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно.
Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M.
По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM.
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.
Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично, получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, AD/BC = 4. Пусть SBKC = S, тогда
SAKD = 16S
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,
SAKD/SAKB = DK/KB = AD/BC,
то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S. Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1
Тогда
Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2
Ответ: 3,2