Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике из демоверсии

Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике из демонстрационного варианта. Основные проверяемые требования к математической подготовке: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике

а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно.

Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M.

По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM.

Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный.

Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике из демоверсии

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, ADAB. Аналогично, получаем, что BCAB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая — радиус 1.

Треугольники BKC и AKD подобны, AD/BC = 4. Пусть SBKC = S, тогда

SAKD = 16S

У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,

SAKD/SAKB = DK/KB = AD/BC,

то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S. Вычислим площадь трапеции ABCD. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1

Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике из демоверсии 2

Тогда

Решение 16 задания ЕГЭ 2018 по математике из демоверсии 3

Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2

Ответ: 3,2

Опубликовано: 09.04.2018 Обновлено: 17.04.2018
Поделись с друзьями

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

14 − семь =